∑ ∫ π ∞ √ Δ
Interaktywne lekcje matematyki

Matematyka, która
naprawdę ma sens

Jasne wyjaśnienia, piękne wzory i interaktywne ćwiczenia — wszystko po to, żebyś rozumiał(a), a nie tylko zapamiętywał(a).

Przeglądaj tematy Umów konsultację
11
Tematów
90+
Zadań
10
Kalkulatorów
∞
Ciekawości
Tematy

Co chcesz dzisiaj poznać?

Kliknij kartę, aby rozwinąć wyjaśnienie, wzory i ćwiczenia interaktywne

Podstawy
Liczby, zbiory i działania
Rodzaje liczb, działania na zbiorach, NWD, NWW — fundament całej matematyki.
Łatwy
Otwórz

Rodzaje liczb

  • Naturalne ℕ: 0, 1, 2, 3, …
  • Całkowite ℤ: …, −2, −1, 0, 1, 2, …
  • Wymierne ℚ: liczby dające się zapisać jako p/q, q≠0
  • Niewymierne: √2, π, e — nie da się zapisać jako p/q
  • Rzeczywiste ℝ = ℚ ∪ (niewymierne)

Działania na zbiorach

A ∪ B — suma  |  A ∩ B — iloczyn  |  A \ B — różnica  |  A' — dopełnienie

NWD i NWW

NWD(a,b) · NWW(a,b) = a · b
Podaj liczby i kliknij Oblicz
1 Zadanie

Do jakiego zbioru należy liczba −7?

Dobrze! −7 jest liczbą całkowitą, więc należy do ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
Niepoprawnie. −7 jest ujemna, więc nie należy do ℕ. Należy do ℤ, ℚ i ℝ.
2 Zadanie

Czy liczba √3 jest wymierna?

Tak — √3 nie da się zapisać jako p/q dla całkowitych p, q. Jest liczbą niewymierną.
Nie. √3 jest liczbą niewymierną — jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe.
3 Zadanie

NWD(12, 18) = ?

Zgadza się! 12 = 2²·3, 18 = 2·3² → NWD = 2·3 = 6.
Nie. Rozkład: 12 = 2²·3, 18 = 2·3². Wspólne czynniki: 2¹·3¹ = 6.
4 Zadanie

Jeśli NWD(a,b) = 4 i NWW(a,b) = 60, to a·b = ?

Poprawnie! Ze wzoru NWD·NWW = a·b: 4 · 60 = 240.
Nie. Korzystamy ze wzoru: a·b = NWD·NWW = 4·60 = 240.
5 Zadanie

A = {1,2,3,4}, B = {3,4,5,6}. Co to A ∩ B?

Tak! Iloczyn zbiorów to elementy należące do obu: A ∩ B = {3,4}.
Nie. A ∩ B to część wspólna obu zbiorów — elementy, które są w A i w B: {3,4}.
6 Zadanie

Ile liczb pierwszych jest mniejszych od 20?

Tak! Liczby pierwsze < 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 — jest ich 8.
Nie. Sprawdź: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 — to 8 liczb pierwszych mniejszych od 20.
7 Zadanie

Rozkład 60 na czynniki pierwsze to…

Poprawnie! 60 = 4·15 = 2²·3·5 — i tylko liczby pierwsze.
Nie. 60 = 2·30 = 2·2·15 = 2·2·3·5 = 2²·3·5.
Podstawy
Potęgi, pierwiastki, logarytmy
Prawa potęgowania, upraszczanie wyrażeń i własności logarytmów — klucz do równań wykładniczych.
Średni
Otwórz

Prawa potęgowania

  • aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
  • aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
  • (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
  • a⁰ = 1  (a ≠ 0)
  • a⁻ⁿ = 1/aⁿ
  • a^(1/n) = ⁿ√a

Logarytmy

log_a(b) = c ⟺ aᶜ = b
  • log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y)
  • log_a(x/y) = log_a(x) − log_a(y)
  • log_a(xⁿ) = n·log_a(x)
  • Zmiana podstawy: log_a(b) = log_c(b)/log_c(a)
Podaj wartości i kliknij Oblicz
1 Zadanie

Uprość: 2³ · 2⁴ = ?

Poprawnie! aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ → 2³⁺⁴ = 2⁷ = 128.
Nie. Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki: 2³·2⁴ = 2⁷ = 128.
2 Zadanie

log₂(32) = ?

Tak! 2⁵ = 32, więc log₂(32) = 5.
Nie. Szukamy x: 2ˣ = 32. 2⁵ = 32, więc odpowiedź to 5.
3 Zadanie

Co to znaczy a⁻² ?

Tak! Ujemny wykładnik oznacza odwrotność: a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
Nie. a⁻² = 1/a² — ujemny wykładnik to odwrotność potęgi.
4 Zadanie

Uprość: (2³)² = ?

Poprawnie! (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ → (2³)² = 2⁶ = 64.
Nie. (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ → (2³)² = 2^(3·2) = 2⁶ = 64.
5 Zadanie

log₃(9) + log₃(3) = ?

Tak! log₃(9)=2, log₃(3)=1. Suma = 3. Lub: log₃(9·3)=log₃(27)=3.
Nie. log₃(9)=2 (bo 3²=9), log₃(3)=1 (bo 3¹=3). Suma = 2+1 = 3.
6 Zadanie

√50 w najprostszej postaci to…

Poprawnie! √50 = √(25·2) = √25·√2 = 5√2.
Nie. √50 = √(25·2) = 5·√2.
7 Zadanie

Czemu równa się 8^(1/3)?

Tak! a^(1/n) = ⁿ√a → 8^(1/3) = ³√8 = 2, bo 2³ = 8.
Nie. 8^(1/3) = ³√8. Pytamy: x³ = 8 → x = 2.
Algebra
Równania, nierówności, układy
Równania liniowe i kwadratowe, przedziały rozwiązań i metody eliminacji w układach.
Średni
Otwórz

Równanie liniowe

ax + b = 0 → x = −b/a  (a ≠ 0)

Równanie kwadratowe

ax² + bx + c = 0 → Δ = b²−4ac → x = (−b ± √Δ)/(2a)

Nierówności

Przy mnożeniu/dzieleniu przez liczbę ujemną — odwracamy znak nierówności!

2x > −6 → x > −3  |  −2x > 6 → x < −3

Układ równań — metoda podstawiania i eliminacji

  • Podstawianie: wyrażamy jedną zmienną i podstawiamy do drugiego równania
  • Eliminacja: dodajemy/odejmujemy równania, by wyeliminować jedną zmienną
Podaj współczynniki i kliknij Rozwiąż
1 Zadanie

Rozwiąż: 3x − 6 = 0

Tak! 3x = 6 → x = 2.
Nie. 3x = 6 → x = 6/3 = 2.
2 Zadanie

Nierówność: −2x > 8. Co to jest x?

Poprawnie! Dzielimy przez −2 → odwracamy znak: x < −4.
Nie. Dzieląc przez ujemną liczbę, odwracamy znak: −2x > 8 → x < −4.
3 Zadanie

Układ: x + y = 5, x − y = 1. Znajdź x.

Tak! Dodajemy równania: 2x = 6 → x = 3, y = 2.
Nie. Dodaj równania: (x+y)+(x−y)=5+1 → 2x=6 → x=3.
4 Zadanie

Równanie kwadratowe x² − 5x + 6 = 0 ma rozwiązania…

Poprawnie! Δ = 25−24 = 1. x₁ = (5+1)/2 = 3, x₂ = (5−1)/2 = 2.
Nie. Δ = 25−24=1. x = (5±1)/2 → x₁=3, x₂=2.
5 Zadanie

Rozwiązanie nierówności x² − 4 > 0 to…

Tak! x²>4 → |x|>2 → x<−2 lub x>2.
Nie. x²−4>0 → x²>4 → x<−2 lub x>2.
6 Zadanie

Układ nie ma rozwiązania, gdy wykresy dwóch prostych są…

Tak! Proste równoległe nigdy się nie przecinają — brak rozwiązania.
Nie. Proste równoległe (niebędące tą samą prostą) nie mają punktu wspólnego → brak rozwiązań.
Analiza
Ciągi liczbowe
Ciąg arytmetyczny i geometryczny — wzór ogólny, sumy i zastosowania w finansach.
Średni
Otwórz

Ciąg arytmetyczny

aₙ = a₁ + (n−1)·r  |  Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2

Każdy wyraz różni się od poprzedniego o stałą różnicę r.

Ciąg geometryczny

aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹  |  Sₙ = a₁ · (qⁿ − 1)/(q − 1) dla q ≠ 1

Każdy wyraz jest ilorazem stałym q pomnożonym przez poprzedni.

Własność środkowych wyrazów

  • Arytmetyczny: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2
  • Geometryczny: aₙ² = aₙ₋₁ · aₙ₊₁
Podaj wartości i kliknij Oblicz
1 Zadanie

Ciąg arytmetyczny: a₁ = 3, r = 4. Jaki jest 5. wyraz?

Tak! a₅ = 3 + (5−1)·4 = 3 + 16 = 19.
Nie. aₙ = a₁ + (n−1)·r → a₅ = 3 + 4·4 = 3 + 16 = 19.
2 Zadanie

Suma 10 pierwszych wyrazów ciągu arytm. a₁=1, r=2 to…

Tak! a₁₀=1+9·2=19. S₁₀=10·(1+19)/2=10·10=100.
Nie. a₁₀=1+18=19. S₁₀=n(a₁+aₙ)/2=10·20/2=100.
3 Zadanie

Ciąg geometryczny: a₁ = 2, q = 3. Co to a₄?

Tak! a₄ = 2 · 3³ = 2 · 27 = 54.
Nie. aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹ → a₄ = 2 · 3³ = 2 · 27 = 54.
4 Zadanie

Jaki jest iloraz ciągu geometrycznego: 4, 12, 36, 108, …?

Poprawnie! q = 12/4 = 36/12 = 3.
Nie. q = aₙ₊₁/aₙ = 12/4 = 3.
5 Zadanie

Różnica ciągu arytmetycznego: 7, 3, −1, −5, … to…

Poprawnie! r = 3−7 = −4. Ciąg maleje o 4.
Nie. r = a₂ − a₁ = 3 − 7 = −4.
6 Zadanie

Środkowy wyraz ciągu geometrycznego to 6. Wiemy, że a₂·a₄ = ?

Tak! Dla ciągu geom.: a₃² = a₂·a₄ → 36 = a₂·a₄.
Nie. Własność: aₙ² = aₙ₋₁·aₙ₊₁ → a₃² = 36 = a₂·a₄.
7 Zadanie

Ciąg arytmetyczny ma a₁=10, a₅=2. Jaka jest różnica r?

Tak! a₅ = a₁ + 4r → 2 = 10 + 4r → r = −8/4 = −2.
Nie. a₅ = a₁ + (5−1)r → 2 = 10 + 4r → 4r = −8 → r = −2.
Algebra
Funkcja kwadratowa
Parabola, miejsca zerowe, wierzchołek i delta — fundament każdego egzaminu z matematyki.
Średni
Otwórz

Funkcja kwadratowa to f(x) = ax² + bx + c, gdzie a ≠ 0. Wykresem jest parabola.

f(x) = ax² + bx + c

Postać kanoniczna

f(x) = a(x − p)² + q  |  p = −b/(2a) , q = f(p)

Wyróżnik Δ

Δ = b² − 4ac
  • Δ > 0 → dwa miejsca zerowe: x = (−b ± √Δ)/(2a)
  • Δ = 0 → jedno miejsce zerowe: x₀ = −b/(2a)
  • Δ < 0 → brak miejsc zerowych w ℝ

Kształt paraboli

a > 0 → ramiona ku górze (minimum).   a < 0 → ramiona ku dołowi (maksimum).

Podaj wartości i kliknij Oblicz
1 Zadanie

Ile miejsc zerowych ma f(x) = x² − 4x + 4?

Δ = 16 − 16 = 0 → jedno miejsce zerowe x₀ = 2.
Oblicz Δ = b² − 4ac = 16 − 16 = 0 → jedno miejsce zerowe.
2 Zadanie

Wierzchołek paraboli f(x) = x² − 6x + 5 to…

p = −(−6)/(2·1) = 3, q = 9 − 18 + 5 = −4 → W = (3, −4).
p = −b/(2a) = 3, q = f(3) = 9−18+5 = −4 → W = (3, −4).
3 Zadanie

Dla a < 0 wierzchołek paraboli to…

a < 0 → ramiona ku dołowi → wierzchołek to maksimum.
Ujemne a → parabola „odwrócona" → wierzchołek = maksimum.
4 Zadanie

Dla jakiego a funkcja f(x) = ax² − 4x + 4 ma Δ = 0?

Δ = 16 − 4·a·4 = 0 → 16a = 16 → a = 1.
Δ = b² − 4ac = 16 − 16a = 0 → a = 1.
5 Zadanie

Jaka jest postać kanoniczna f(x) = x² − 4x + 7?

p = 2, q = 4 − 8 + 7 = 3 → f(x) = (x−2)² + 3.
p = −b/(2a) = 2, q = f(2) = 4−8+7 = 3 → (x−2)²+3.
6 Zadanie

Kiedy f(x) = ax² + bx + c nie ma miejsc zerowych w ℝ?

Dokładnie — Δ < 0 oznacza, że parabola nie przecina osi OX.
Nie. Brak miejsc zerowych ⟺ Δ < 0.
7 Zadanie

Funkcja f(x) = −x² + 4 ma wartość maksymalną równą…

a < 0 → maksimum w wierzchołku. p = 0, q = f(0) = 4.
a = −1 < 0 → parabola ma maksimum. W = (0, 4) → max = 4.
Algebra
Wielomiany
Stopień, pierwiastki, twierdzenie Bezouta i wzory skróconego mnożenia.
Trudny
Otwórz
W(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀  (aₙ ≠ 0)

Twierdzenie Bezouta

W(a) = 0 ⟺ (x − a) | W(x)

Wzory skróconego mnożenia

  • (a+b)² = a² + 2ab + b²
  • (a−b)² = a² − 2ab + b²
  • (a+b)(a−b) = a² − b²
  • (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
  • a³ − b³ = (a−b)(a²+ab+b²)

Schemat Hornera

Szybka metoda obliczania W(x₀): zapisujemy współczynniki i wykonujemy schodkowe mnożenie + dodawanie.

Podaj wartości i kliknij Oblicz
1 Zadanie

Czy x = 2 jest pierwiastkiem W(x) = x³ − 8?

W(2) = 8 − 8 = 0 → x = 2 jest pierwiastkiem.
W(2) = 2³ − 8 = 0 → jest pierwiastkiem.
2 Zadanie

Jaki jest stopień wielomianu 3x⁵ − x² + 7?

Stopień = najwyższa potęga = 5.
Stopień to najwyższa potęga zmiennej → 5.
3 Zadanie

Ile co najwyżej pierwiastków może mieć wielomian stopnia 4?

Wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków rzeczywistych.
Stopień wyznacza maksymalną liczbę pierwiastków → 4.
4 Zadanie

(a+b)² rozwinięte to…

Wzór skróconego mnożenia: (a+b)² = a² + 2ab + b².
(a+b)² = a·a + 2·a·b + b·b = a² + 2ab + b².
5 Zadanie

Wynik (x+3)(x−3) to…

Różnica kwadratów: (a+b)(a−b) = a² − b² → x² − 9.
Użyj wzoru (a+b)(a−b) = a² − b² → x² − 9.
6 Zadanie

Jeśli W(−1) = 0, to który czynnik dzieli W(x)?

Bezouta: W(a)=0 → (x−a)|W(x). Tu a=−1 → (x+1).
Bezouta: jeśli W(a)=0, to (x−a) dzieli W(x). a=−1 → (x+1).
7 Zadanie

a³ − 8 rozkłada się na…

Wzór a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²) → (a−2)(a²+2a+4).
a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²). Tu b=2 → (a−2)(a²+2a+4).
Geometria
Prawo Talesa
Proporcjonalne odcinki i podobieństwo trójkątów — geometria w praktyce.
Łatwy
Otwórz

Jeśli dwie sieczne przecinają pęk równoległych prostych, wycinają na nich proporcjonalne odcinki.

a / b = c / d

Twierdzenie odwrotne

Jeśli proste wycinają proporcjonalne odcinki na dwóch siecznych — są równoległe.

Podobieństwo trójkątów (cechy)

  • KK — dwa równe kąty
  • BBB — trzy proporcjonalne boki
  • BKB — dwa proporcjonalne boki i kąt między nimi
a/a' = b/b' = c/c' = k (skala)
Podaj wartości i kliknij Oblicz
1 Zadanie

a = 4, b = 8, c = 6. Wyznacz d z proporcji a/b = c/d.

d = b·c/a = 8·6/4 = 12.
a/b = c/d → d = b·c/a = 48/4 = 12.
2 Zadanie

Trójkąty podobne, skala k = 3. Boki pierwszego: 3, 4, 5. Najdłuższy bok drugiego?

5 · 3 = 15. Mnożymy każdy bok przez skalę k.
Najdłuższy bok to 5, mnożymy przez k=3 → 15.
3 Zadanie

Dwa trójkąty są podobne. W pierwszym boki 6 i 9, w drugim odpowiadający bok to 4. Znajdź drugi bok.

Skala k = 4/6 = 2/3. Drugi bok: 9 · 2/3 = 6.
k = 4/6 → brakujący bok = 9 · (4/6) = 6.
4 Zadanie

Twierdzenie Talesa — proste równoległe wycinają na siecznych odcinki…

Dokładnie — proporcjonalne, nie koniecznie równe.
Twierdzenie Talesa mówi o proporcjonalności, nie równości.
5 Zadanie

Jeśli a/b = 3/5 i a = 6, to b = ?

6/b = 3/5 → b = 6·5/3 = 10.
6/b = 3/5 → b = 30/3 = 10.
6 Zadanie

Pola trójkątów podobnych mają stosunek k² do 1. Jeśli k = 2, to stosunek pól wynosi…

Pola podobnych figur mają stosunek k² → 2² = 4.
Przy skali k stosunek pól wynosi k² = 4.
Geometria
Pole figur płaskich
Trójkąt, prostokąt, trapez, romb, koło — wzory, kalkulator i ćwiczenia.
Łatwy
Otwórz
  • Kwadrat: P = a²
  • Prostokąt: P = a · b
  • Trójkąt: P = (a · h) / 2
  • Równoległobok: P = a · h
  • Trapez: P = (a + b) · h / 2
  • Romb: P = (d₁ · d₂) / 2
  • Koło: P = π · r²
P△ = a·h/2  |  P○ = πr²  |  P▱ = a·b

Wzór Herona (trójkąt z 3 boków)

s = (a+b+c)/2  →  P = √(s(s−a)(s−b)(s−c))
Podaj wymiary i kliknij Oblicz
1 Zadanie

Pole trójkąta o podstawie 8 i wysokości 5?

P = 8·5/2 = 20.
P△ = a·h/2 = 8·5/2 = 20.
2 Zadanie

Pole koła o promieniu 3 (zaokrąglij do 2 miejsc)?

P = π·9 ≈ 28,27.
P = π·r² = π·9 ≈ 28,27.
3 Zadanie

Trapez: a = 6, b = 10, h = 4. Pole = ?

P = (6+10)·4/2 = 32.
P = (a+b)·h/2 = 16·4/2 = 32.
4 Zadanie

Romb ma przekątne 10 i 8. Jego pole to…

P = d₁·d₂/2 = 10·8/2 = 40.
P = d₁·d₂/2 = 80/2 = 40.
5 Zadanie

Kwadrat ma pole 144. Jaki jest jego bok?

P = a² → a = √144 = 12.
a = √P = √144 = 12.
6 Zadanie

Okrąg ma obwód 2πr. Jeśli r = 5, to obwód wynosi…

Obwód = 2π·5 = 10π ≈ 31,42.
Obwód = 2πr = 2π·5 = 10π.
7 Zadanie

Jaka figura ma wzór P = (a+b)·h/2?

To wzór na pole trapezu — suma podstaw razy wysokość, podzielone przez 2.
(a+b)·h/2 to wzór na pole trapezu.
Analiza
Pochodne i szybkość zmian
Chwilowa szybkość zmiany funkcji — styczna, reguły i ekstremum.
Średni
Otwórz
f′(x) = limh→0 [f(x+h) − f(x)] / h

Kluczowe reguły

  • Potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
  • Stałej: (c)′ = 0
  • Sumy: (f+g)′ = f′ + g′
  • Iloczynu: (f·g)′ = f′g + fg′
  • Ilorazu: (f/g)′ = (f′g − fg′)/g²
  • Łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)

Znaczenie geometryczne

f′(x) = nachylenie stycznej do wykresu w punkcie x. Gdy f′(x) = 0 → kandydat na ekstremum.

Podaj wartości i kliknij Oblicz
1 Zadanie

(x⁴)′ = ?

(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ → 4x³.
Mnożymy przez wykładnik i obniżamy go o 1 → 4x³.
2 Zadanie

Co oznacza f′(x) = 0 geometrycznie?

Pozioma styczna → kandydat na maksimum lub minimum.
f′=0 oznacza poziomą styczną — kandydata na ekstremum.
3 Zadanie

(5x³ − 2x + 7)′ = ?

(5x³)′=15x², (2x)′=2, (7)′=0 → 15x² − 2.
Różniczkuj każdy składnik: 15x² − 2 + 0 = 15x² − 2.
4 Zadanie

(x²·sin x)′ = ? (reguła iloczynu)

(fg)′ = f′g + fg′ = 2x·sin x + x²·cos x.
Reguła iloczynu: (f·g)′ = f′·g + f·g′ = 2x·sin x + x²·cos x.
5 Zadanie

Pochodna stałej (np. f(x) = 7) wynosi…

Stała nie zmienia się — jej pochodna = 0.
Stała funkcja nie rośnie ani nie maleje → f′ = 0.
6 Zadanie

Funkcja f(x) = x³ − 3x. Gdzie jest ekstremum lokalne?

f′(x) = 3x²−3 = 0 → x² = 1 → x = ±1. To kandydaci na ekstrema.
f′(x) = 3x²−3 = 0 → x = ±1.
Rachunek prawdop.
Prawdopodobieństwo
Od rzutu monetą do prawdopodobieństwa warunkowego — mierz niepewność z pewnością.
Łatwy
Otwórz
P(A) = sprzyjające / wszystkie możliwe

Ważne wzory

  • Zdarzenie przeciwne: P(Ā) = 1 − P(A)
  • Suma: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
  • Dla wykluczających się: P(A∪B) = P(A) + P(B)
  • Warunkowe: P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
  • Niezależne: P(A∩B) = P(A)·P(B)
Naciśnij Rzuć!
1 Zadanie

Worek: 3 czerwone, 7 niebieskich. P(czerwona) = ?

P = 3/10 = 0,3.
P = 3/(3+7) = 0,3.
2 Zadanie

P(A) = 0,4. P(Ā) = ?

P(Ā) = 1 − P(A) = 1 − 0,4 = 0,6.
P(Ā) = 1 − P(A) = 0,6.
3 Zadanie

Zdarzenia A i B niezależne: P(A) = 0,5, P(B) = 0,4. P(A∩B) = ?

P(A∩B) = P(A)·P(B) = 0,5·0,4 = 0,2.
Dla niezależnych: P(A∩B) = P(A)·P(B) = 0,2.
4 Zadanie

Rzucamy kostką. Jaka szansa na liczbę parzystą?

Parzyste: 2, 4, 6 → P = 3/6 = 1/2.
Parzyste to 2, 4, 6 — 3 spośród 6 oczek → P = 1/2.
5 Zadanie

P(A) = 0,3, P(B) = 0,5, P(A∩B) = 0,1. P(A∪B) = ?

P(A∪B) = 0,3 + 0,5 − 0,1 = 0,7.
P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B) = 0,3+0,5−0,1 = 0,7.
6 Zadanie

Rzucamy dwie kostki. Jakie jest P, że suma wynosi 7?

Pary dające sumę 7: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) — 6 par z 36. P = 6/36 = 1/6.
Policz pary: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) = 6 par. P = 6/36 = 1/6.
Kombinatoryka
Permutacje i kombinacje
Sztuka liczenia — kiedy kolejność ma znaczenie, a kiedy nie.
Średni
Otwórz
P(n,r) = n!/(n−r)!    C(n,r) = n!/(r!(n−r)!)
  • Permutacja P(n,r): kolejność ważna — hasła, podium, kody
  • Kombinacja C(n,r): kolejność nieważna — loteria, drużyna

Silnia

n! = n·(n−1)·…·2·1  ,  0! = 1
Podaj wartości i kliknij Oblicz
1 Zadanie

Na ile sposobów można ustawić 3 książki z 5?

P(5,3) = 5·4·3 = 60. Kolejność ważna!
Kolejność ważna → P(5,3) = 5·4·3 = 60.
2 Zadanie

Na ile sposobów wybrać 3 osoby z 5 do drużyny?

C(5,3) = 5!/(3!·2!) = 10. Kolejność nieważna.
Skład drużyny → kolejność nieważna → C(5,3) = 10.
3 Zadanie

4! = ?

4! = 4·3·2·1 = 24.
4! = 4·3·2·1 = 24.
4 Zadanie

Loteria: losujemy 6 z 49. Czy liczy się kolejność?

W loterii kolejność nie ma znaczenia → kombinacja C(49,6).
Kolejność cyfr na kuponie nie ma znaczenia → kombinacja.
5 Zadanie

C(6,6) = ?

C(n,n) = 1 — jest tylko jeden sposób wybrania wszystkich elementów.
C(6,6) = 6!/(6!·0!) = 1.
6 Zadanie

Ile 3-cyfrowych kodów PIN (cyfry 0–9, bez powtórzeń)?

Kolejność ważna → P(10,3) = 10·9·8 = 720.
Kolejność cyfr w kodzie ważna → P(10,3) = 10·9·8 = 720.
7 Zadanie

Ile anagramów ma słowo ABC (każda litera różna)?

P(3) = 3! = 6. Anagramy: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
Liczba permutacji 3 różnych liter = 3! = 3·2·1 = 6.
Wsparcie

Wszystko czego potrzebujesz

Kontakt i zasoby

Kontakt

edrozd.by@gmail.com
Telegram: janedrozd

Zasoby zewnętrzne


Skanavi (skan)